题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与
轴的正半轴交于点
，与
轴交于点
，
的面积为2，动点
从点
出发，以每秒1个单位长度的速度在射线
上运动，动点
从
出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动，过作
轴交直线
于
.
(1)求直线的解析式.
(2)当点在线段
上运动时，设
的面积为
，点运动的时间为
秒，求与的函数关系式(直接写出自变量的取值范围).
(3)过点作
轴交直线于
，在运动过程中(点不与点重合)，是否存在某一时刻(秒)，使
是等腰三角形?若存在，求出时间的值.
【答案】（1）y=x+2；（2）S=t（0≤t≤2）；（3）当t=
-2或2时，△MNQ是等腰三角形.
【解析】
（1）根据三角形的面积公式求出OA，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）由等腰直角三角形的性质可得PM，再表示出PQ，然后利用直角三角形的面积公式解答即可；
（3）由题意可以确定t秒时，点M、N、Q的坐标分别为（-2+t，t）、（t，t+2）、（t，0），
再分别求出MN,NQ,MQ;最后分MN=QN，MN=QM，QN=QM三种情况列出方程求解即可.
解：（1）由点B（-2，0），则OB=2
∵S ABO=
OB·OA=2
∴OA=2，即A（0.2）
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
∴b=2，k=1
∴直线AB的解析式为y=x+2；
（2）∵OA=OB=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度,时间为t
∴PM=PB=OQ=t,PO=2-t
∴PQ=PO+OQ=PO+BP=OB=2，
∴S=S△MPQ=PQ·PM=×2×t=t
∵点P在线段OB上运动
∴0≤t≤2
∴S与的函数关系式为S=t（0≤t≤2）；
（3）存在,理由如下:
由题意可得:t秒时，点M、N、Q的坐标分别为（-2+t，t）、（t，t+2）、（t，0），
则：MN2=4+4=8，MQ2=4+t2，NQ=（t+2）2，
①当MN=MQ时，即：8=4+t2，t=2（负值已舍去），
②当MN=NQ时，同理可得：t=-2（负值已舍去），
③当MQ=NQ时，同理可得：1=0（舍去）
故：当t=2或-2时，△MNQ是等腰三角形.
