题目内容

定义:如图,若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点A,B,则线段AB的长称为双曲线的对径.

(1)求双曲线的对径;
(2)若某双曲线对径是.求k的值;
(3)仿照上述定义,请你定义双曲线的对径.
(1)2;(2)25;(3)定义见解析.

试题分析:过A点作AC⊥x轴于C,(1)解方程组,可得到A点坐标为(1,1),B点坐标为(-1,-1),即OC=AC=1,由勾股定理可求AB,于是得到双曲线的对径;
(2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为,即AB=,OA=5,根据OA=OC=AC,则OC=AC=5,得到点A坐标为(5,5),把A(5,5)代入双曲线 (k>0)即可得到k的值;(3)双曲线 (k<0)的一条对称轴与双曲线有两个交点,根据题目中的定义易得到双曲线(k<0)的对径.
试题解析:如图,过A点作AC⊥x轴于C,

(1)解方程组,得,∴A点坐标为(1,1),B点坐标为(-1,-1).
∴OC=AC=1,∴OA=OC=. ∴AB=2OA=2.
∴双曲线的对径是2.
(2)∵双曲线的对径为,即AB=,OA=5.
∴OA=OC=AC,∴OC=AC=5. ∴点A坐标为(5,5).
把A(5,5)代入双曲线 (k>0)得k=5×5=25,即k的值为25.
(3)若双曲线 (k<0)与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点,则线段AB的长称为双曲线 (k<0)的对径.
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