Question

【题目】在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所对的边b，c满足：b +c -4（b+c）+8=0.

（1）证明：△ABC是边长为2的等边三角形.
（2）若 b，c两边上的中线BD，CE交于点O，求OD：OB的值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ b2 +c2 -4（b+c）+8=0
∴ （b-2）2 +（c-2）2 =0
∵ （b-2）2 ≥0，（c-2）2 ≥0，
∴ （b-2）2 =（c-2）2 =0
∴ b=c=2
∵ ∠A=60°
∴ △ABC是边长为2的等边三角形

（2）解：∵ AB=BC且BD是AC边上的中线

∴ BD⊥AC，∠DBC= ∠ABC=30°

同理∠ECB=∠ECA=30°

∴ ∠DBC=∠ECB

∴ OB=OC

由已知：BD⊥AC，∠ECA=30°，OB=OC，

∴ OB=OC=2OD

∴ OD：OB=1：2

【解析】 (1)将 b 2 +c 2 -4（b+c）+8=0变形成（b-2） 2 +（c-2） 2 =0 ，根据平方的非负性知几个非负数的和等于0，则这几个数都等于零，得出两个一元一次方程，求解得出a,b的值，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出结论；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出 BD⊥AC，∠DBC= ∠ABC=30°，同理∠ECB=∠ECA=30°，故 ∠DBC=∠ECB，根据等角对等边得出OB=OC，根据含30的直角三角形的边之间的关系得出OB=OC=2OD，从而得出 OD：OB=1：2。

【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．