Question

【题目】请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，AC=1，PD=2，直接写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，

∴PA= ，

∴PA′=PA= ，

∵AA′∥BD，

∴∠A′=∠B，

∵∠A′PC=∠BPD，

∴△A′PC∽△BPD，

∴ ，

∴ ，

∴PB=2 ，

∴AP+PB= +2 =3 ；

故答案为3 ；

（2）解：作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，

则四边形A′EDC是矩形，

∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，

∵BD=4﹣AC，

∴BD+AC=BD+DE=4，

即BE=4，

在RT△A′BE中，A′B= =5，

∴AP+BP=5，

故答案为5；

（3）解：设AC=1，CP=m﹣3，

∵A A′⊥L于点C，

∴AP= ，

设BD=2，DP=9﹣m，

∵BD⊥L于点D，

∴BP= ，

∴ 的最小值即为A′B的长．

即：A′B= 的最小值．

如图，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E．

∵A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6，BE=BD+DE=2+1=3，

∴A′B= 的最小值

=

= ，

∴ 的最小值为 ．

【解析】 （1）根据等腰直角三角形知PA= ，根据轴对称性知PA′=PA，根据平行线的性质知∠A′=∠B，又∠A′PC=∠BPD，从而判断出△A′PC∽△BPD，根据相似三角形对应边成比例就可以求出PB的长，从而算出AP+BP；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据题意可以判断出四边形A′EDC是矩形，根据矩形的性质得出AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，从而得出BD+AC=BD+DE=4，在RT△A′BE中，利用勾股定理算出A′B的长，从而得出AP+BP的值；
（1）设AC=1，CP=m﹣3，因A A′⊥L于点C，由勾股定理得出AP的值，设BD=2，DP=9﹣m，因BD⊥L于点D，由勾股定理得出BP的值，根据A′B=AP+BP的最小值，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E．A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6，BE=BD+DE=2+1=3，A′B=，从而得出答案。