Question

【题目】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P在线段BA的延长线上，作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，点D关于直线AB的对称点为E，连接PE并延长PE到点F，使EF=AC，连接CF．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：AD=CF；

（3）若AC=2，点Q在直线AB上，写出一个AQ的值，使得对于任意的点P总有QD=QF，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AQ=，证明见解析．

【解析】

（1）依照题意，补全图形即可；

（2）通过证明四边形DCFP是矩形，可得PD=CF，由等腰直角三角形的性质可得AD=PD=CF；

（3）通过证明△DAQ≌△FCQ，可得QD=QF．

（1）补全图形，如图1所示：

（2）∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=∠CAB=45°，

∵PD⊥AC，

∴∠PDA=90°，

∴∠DPA=90°﹣∠PAD=45°=∠DAP，

∴AD=DP，

∵点D关于直线AB的对称点为E，

∴∠FPA=∠DPA=45°，PE=PD，

∴∠DPF=90°，

∴∠DPF+∠D=180°，

∴PF//CD，

又∵EF=AC，

∴EF+PE=AC+AD，

即PF=CD，

∴PFCD，

∴四边形PDCF是平行四边形，

又∵∠PDA=90°，

∴四边形DCFP是矩形，

∴PD=CF，

∴AD=CF；

（3）AQ=，

理由如下：如图2，连接CQ，

∵∠C=90°，AC=BC=2，

∴AB=2，∠B=∠CAB=45°，

∵AQ=，

∴AQ=BQ，

又∵∠C=90°，AC=BC=2，

∴CQ=AQ=BQ，∠QCA=∠CAQ=45°，

∴∠DAQ=∠QCF=135°，

又∵AD=CF，

∴△DAQ≌△FCQ（SAS），

∴FQ=DQ．