Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CP与⊙O相切．
（2）若AB=10，∠CAB=30°，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
又∵∠OAC=∠DAC，
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP，
∴直线CP与⊙O相切．

（2）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵AB=10，∠CAB=30°，
∴BC=10÷2=5
∴AC=

AB2-BC2

=

102-52

=5

3

．
又∵∠1=∠2=30°，AE⊥CP于点D，
∴CD=5

3

×

1

2

=

5

2

3

．