题目内容
如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
(1)对,理由见解析 (2)见解析
试题分析:(1)设△ABC的边AB上的高为h,由三角形的面积公式即可得出=,=,再由点D为边AB的黄金分割点可得出=,故可得出结论;
(2)由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,故S△DEC=S△FCE,设直线EF与CD交于点G,由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG,故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF,再由S△BDC=S四边形BEFC,再由=可知=,故直线EF也是△ABC的黄金分割线.
解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设△ABC的边AB上的高为h.
∵S△ADC=AD•h,S△EDC=BD•h,S△ABC=AB•h,
∴=,=,
又∵点D为边AB的黄金分割点,
∴=,
∴=,
∴直线CD是△ABC的黄金分割线;
(2)∵DF∥CE,
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,
∴S△DEC=S△FCE,
设直线EF与CD交于点G,
∴S△DEG=S△FCG,
∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF,
S△BDC=S四边形BEFC,.
又∵=,
∴=,
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线.
点评:本题考查的是相似形综合题,涉及到平行线的性质及三角形的面积公式,根据题意理解黄金分割点及分割线的定义是解答此题的关键.
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