题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交⊙O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若AB=3,AC=2,求EC和PB的长.
【答案】(1)见解析;(2)EC=,PB=
.
【解析】
(1)连接OC,如图,利用切线的性质得到OC⊥PE,则判断OC∥AE,所以∠DAC=∠OCA,然后利用∠OCA=∠OAC得到∠DAC=∠OAC;
(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再利用勾股定理计算出BC=2,再证明Rt△ABC∽Rt△ACE,利用相似比计算出EC=,接着利用勾股定理计算出AE=
,然后证明Rt△ABC∽Rt△ACE,从而利用相似比计算PB的长.
解:(1)证明:连接OC,如图,
∵PE是⊙O的切线,
∴OC⊥PE,
∵AE⊥PE,
∴OC∥AE,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC平分∠BAD;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中,BC==
=1,
在Rt△ABC和Rt△ACE中,
∵∠DAC=∠OAC,∠AEC=∠ACB=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△ACE,
∴AC:AB=EC:BC,即2:3=EC:1,
∴EC=;
在Rt△ACE中,AE==
=
,
又∵OC∥AE,
∴Rt△ABC∽Rt△ACE,
∴OC:AE=PO:PA,即:
=(PB+
):(PB+3),
∴PB=.

【题目】甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶次,每次射靶的成绩如下:
甲:,
,
,
,
,
,
,
,
,
乙:,
,
,
,
,
,
,
,
,
丙:,
,
,
,
,
,
,
,
,
(1)根据以上数据完成下表:
平均数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | |||
乙 | |||
丙 |
(2)比赛时三人依次出场,顺序由抽签方式决定,求甲、乙相邻出场的概率.