题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为EAE交⊙O于点D,直线ECAB的延长线于点P,连接ACBC

1)求证:AC平分∠BAD

2)若AB=3AC=2,求ECPB的长.

【答案】1)见解析;(2EC=PB=

【解析】

1)连接OC,如图,利用切线的性质得到OCPE,则判断OCAE,所以∠DAC=OCA,然后利用∠OCA=OAC得到∠DAC=OAC

2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再利用勾股定理计算出BC=2,再证明RtABCRtACE,利用相似比计算出EC=,接着利用勾股定理计算出AE=,然后证明RtABCRtACE,从而利用相似比计算PB的长.

解:(1)证明:连接OC,如图,

PE是⊙O的切线,

OCPE

AEPE

OCAE

∴∠DAC=OCA

OA=OC

∴∠OCA=OAC

∴∠DAC=OAC

AC平分∠BAD

2)∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°

RtABC中,BC===1

RtABCRtACE中,

∵∠DAC=OAC,∠AEC=ACB=90°

RtABCRtACE

ACAB=ECBC,即23=EC1

EC=

RtACE中,AE===

又∵OCAE

RtABCRtACE

OCAE=POPA,即=PB+):(PB+3),

PB=

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