题目内容
【题目】阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 ．（结果可以不化简）
【答案】（1）6；（2）2
+2
.
【解析】
（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，最大即可；
（2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．
（1）如图2，
∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；
故答案是：6．
（2）如图3，
∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．
∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC，
∴A'C长度即为所求．
过A'作A'D⊥CB延长线于D．
∵∠A'BA=60°（由旋转可知），
∴∠1=30°．
∵A'B=4，
∴A1D=2，BD=2
∴CD=4+2；
在Rt△A1DC中，A1C=
．
∴AP+BP+CP的最小值是：
（或不化简为
）．
