Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥BE于点E．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD＝6，AE＝6，求BC的长．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥BE于E，∴BD为△DBE外接圆的直径，设圆心为O，

连结OE，得OE＝OB，
∴∠OBE ＝∠OEB，∵BE平分∠ABC
∴∠CBE ＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，
∴BC∥OE，已知∠C＝90°，∴∠OEC＝90°，
即直线AC是△DBE外接圆的切线．……………5分
（2）设OE＝OD＝x，在直角三角形AEO中，
AO ²＝AE ²＋EO ²，即 (6＋ x) ²＝(6) ²＋ x ²，
解得x＝3，由△ABC～△AOE，得＝，即＝，BC＝4．……………10分

略