题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+
x+4,x=3;(2)C(0,4);y=
x+4.(3)Q1(3,0),Q2(3,4+
),Q3(3,4-
).
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程;
(2)在抛物线解析式中,令x=0,可求出点C坐标;令y=0,可求出点B坐标.再利用待定系数法求出直线BD的解析式;
(3)本问为存在型问题.若△ACQ为等腰三角形,则有三种可能的情形,需要分类讨论,逐一计算,避免漏解.
(1)∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A(-2,0),
∴-×(-2)2+b×(-2)+4=0,
解得:b=,
∴抛物线解析式为 y=-x2+
x+4,
又∵y=-x2+
x+4=-
(x-3)2+
,
∴对称轴方程为:x=3.
(2)在y=-x2+
x+4中,令x=0,得y=4,
∴C(0,4);
令y=0,即-x2+
x+4=0,整理得x2-6x-16=0,解得:x=8或x=-2,
∴A(-2,0),B(8,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得:
,
解得,
∴直线BC的解析式为:y=x+4.
∵抛物线的对称轴方程为:x=3,
可设点Q(3,t),则可求得:
AC=,
AQ=,
CQ=.
i)当AQ=CQ时,有=
,
25+t2=t2-8t+16+9,
解得t=0,
∴Q1(3,0);
ii)当AC=AQ时,有
t2=-5,此方程无实数根,
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形;
iii)当AC=CQ时,有,
整理得:t2-8t+5=0,
解得:t=4±,
∴点Q坐标为:Q2(3,4+),Q3(3,4-
).
综上所述,存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,点Q的坐标为:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-
).

【题目】(7分)某产品每件的成本10元,试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量
(件)之间的关系如下表:
| 15 | 20 | 30 | … |
| 25 | 20 | 10 | … |
且日销售量(件)是销售价
(元)的一次函数.
(1)求出日销售量(件)与销售价
(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时最大销售利润是多少?