Question

【题目】（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数解析式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3） ， .

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值，问题就可得解；

（2）作PE⊥CO于E，由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此，可求出直线PE的解析式，联立抛物线的解析式，即可求出P点的坐标；

（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大，过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此，可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，再根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.

试题解析：（1）将B、C两点的坐标代入，得

解之，得

所以二次函数的解析式为.

（2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点E．

∵四边形为菱形，

∴PC=PO，且PE⊥CO．

∴OE=EC=，即P点的纵坐标为

由=，得

（不合题意，舍去）

所以存在这样的点，此时P点的坐标为（， ）.

（3）如图2，连接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N．设P点坐标为（x， ），

由=0，得点A坐标为（－1，0）.

∴AO=1，OC=3， OB=3，PＭ=，PN＝x．

∴S四边形ABPC=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

=

=.

易知，当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点坐标为（， ），四边形ABPC的最大面积为.