题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6，DF=8，E、F两点在BC边上，DE、DF两边分别与AB边交于点G、H．固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC边以每秒1个单位的速度向点C运动；同时点P从点F出发，在折线FD﹣DE上以每秒2个单位的速度向点E运动．当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）当t=2时，PH=cm，DG=cm；
（2）当t为何值时，△PDG为等腰三角形？请说明理由；
（3）当t为何值时，点P与点G重合？写出计算过程．
【答案】
（1）
,
（2）解：∵△BEG∽△BAC，
∴ 
= 
，即 
= 
，
解得，EG= 
t+ 
，
∴DG=10﹣EG= 
﹣ t，
当DG=DP时，
△PDE才能成为等腰三角形，且PD=PE，
∵BF=t，PF=2t，DF=8，
∴PD=DF﹣PF=8﹣2t．
在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=4t2+36=PD2．即4t2+36=（8﹣2t）2．
解得t= 
．
∴t为 时，△PDE为等腰三角形
（3）解：设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，
此时点P一定在DE边上，DP=DG．
由已知可得tanB= 
= 
= 
，tanD= ，
∴∠B=∠D，
又∵∠D+∠DEB=90°，
∴∠B+∠DEB=90°，
∴∠DGH=∠BFH=90°．
∴FH=BFtanB= t，DH=DF﹣FH=8﹣ t，DG=DHcosD=（8﹣ t） 
=﹣ t+ ，
∵DP+DF=2t，
∴DP=2t﹣8．
由DP=DG得，2t﹣8=﹣ t+ ，解得t= 
，
∵4＜ ＜6，则此时点P在DE边上．
∴t的值为 时，点P与点G重合
【解析】解：（1）当t=2时，BF=2，PF=4，
∵∠DFE=90°，∠C=90°，
∴△BHF∽△BAC，
∴ 
= 
，即 
= 
，
解得，FH= 
，
∴PH=PF﹣FH= ，
∵tanB= = = ，tanD= ，
∴∠B=∠D，
∴∠BGE=90°，
∴△BEG∽△BAC，
∴ = ，即 = 
，
解得，EG= 
，
∴DG=10﹣EG= ，
所以答案是： ； ；
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．
