题目内容
如图,以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC,AB和AC交⊙O于D和E两点,求证:BD=DE=EC.
考点:圆周角定理,等边三角形的性质,圆心角、弧、弦的关系
专题:证明题
分析:如图,连接OD、OE,构建等边△OBD、△ODE、△OEC;然后由等边三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系证得BD=DE=EC.
解答:证明:如图,连接OD、OE.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
又∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOD=60°.
同理,△EOC是等边三角形,则∠EOC=60°.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠DOE=180°-∠BOD-∠EOC=60°,
∴
=
=
,
∴BD=DE=EC.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
又∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOD=60°.
同理,△EOC是等边三角形,则∠EOC=60°.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠DOE=180°-∠BOD-∠EOC=60°,
∴
BD |
DE |
EC |
∴BD=DE=EC.
点评:本题考查了圆周角定理,等边三角形的性质以及圆周角、弧、弦的关系.解题的难点是辅助线的做法.
练习册系列答案
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C、(2a,b+2) |
D、(a+2,2b) |