Question

已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．

（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，CD=1，求ED的长．

Answer 1

（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=90°，AB=AE，∠CAE=90°，再根据同角的余角相等可得∠1=∠2，即可证得结论；（2）

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=90°，AB=AE，∠CAE=90°，再根据同角的余角相等可得∠1=∠2，即可证得结论；
（2）在△ABC中，根据∠B的正弦函数求得BC的长，即可得到BD的长，根据等腰直角三角形的性质可得∠4=∠B=45°，由△ACE≌△ABD可得∠5=∠B=45°，EC=DB=3，即可得到△ECD是直角三角形，最后根据勾股定理求解即可.
（1）∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC，∠BAC=90°
同理AB=AE，∠CAE=90°

∵∠BAC=∠CAE=90°
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∴△ACE≌△ABD（SAS）
（2）在△ABC中
BC=
∴BD=BC－CD=4－1=3
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠4=∠B=45°
∵△ACE≌△ABD
∴∠5=∠B=45°，EC=DB=3
∵∠ECD=∠4+∠5=90°
∴△ECD是直角三角形
∴ED.
点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.