Question

【题目】如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E,F分别在AC,BC上运动，（点E不与点A,C重合），且保持AE=CF，连接DE，EF，再次运动变化过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值．其中正确的结论是：______________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①连接CD，当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
②由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由②△ADE≌△CDF，就有S△ADE=S△CDF，再通过等量代换就可以求出结论；

解：①连接CD，当E、F分别为AC、BC中点时，

∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，
∴△ACD和△BCD均为等腰直角三角形，
∴DF=DE=CE=CF，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CDFE是正方形，故此选项正确；
②∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF．
∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD，
∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED，
∴S四边形CEDF=S△ADC．

∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确；

故答案为：①②③．