题目内容
【题目】如图1，反比例函数
(k>0)图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．
【答案】（1）k＝
；（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过；理由见解析；（3）△ABB1的面积为
.
【解析】
（1）由△OAB为等边三角形及OA＝2，可得出OM，BM的长，进而可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值；
（2）过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，在Rt△ACM′中，通过解直角三角形可求出AC，CM′的长，进而可得出OC的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数图象与直线CM′交点的纵坐标，将其与点M′的纵坐标比较后即可得出结论；
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，设AA1＝a，则AD＝
a，B1D＝
a，OD＝2＋a，进而可得出点B1的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而可得出MD，B1D，AD的长，再结合S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1即可求出△ABB1的面积．
（1）∵△OAB为等边三角形，OA＝2，
∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝
，
∴点B的坐标为（1，）．
∵反比例函数
图象经过点B，
∴k＝．
（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过，理由如下：
过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．
由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，
∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．
在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，
∴∠AM′C＝30°，
∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．
∴OC＝OA+AC＝
，
∴点M′的坐标为（，）．
当x＝时，
，
∵
＜，
∴该反比例函数图象是从点M'的下方经过．
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，如图2所示．
设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，
∴点B1的坐标为（2+a，a）．
∵点B1在该反比例函数
的图象上，
∴（2+a）a＝，
解得：a1＝﹣2
﹣2（舍去），a2＝2﹣2，
∴MD＝AM+AD＝，B1D＝a＝
﹣
，AD＝a＝﹣1，
∴S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1
＝（BM+B1D）MD﹣BMAM﹣B1DAD，
，
.
