Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=a（x- ）2+h分别与x轴、y轴交于点A（1，0）和点B（0，-2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP．

（1）求点P的坐标及抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2 ， 请你判断点P是否在抛物线C2上，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，0）和点B（0，-2），

∴OA=1，OB=2，过P作PM⊥x轴于M，

由题意得：AB=AP，∠BAP=90°，

∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABO=∠PAM．

在△ABO于△APM中，

，

∴△ABO≌△APM，

∴AM=OB，PM=OA，

∴P（3，-1），

∵A（1，0）和点B（0，-2）在抛物线C1：y=a（x- ）2+h上，
∴

解得： ，

∴抛物线的解析式

（2）解：∵将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，

∴y=- （x- +2）2+ +1，

∴抛物线C2的解析式为：y=- （x- ）2+ ，

当x=3时，y=- （3- ）+ =-1，

∴点P在抛物线C2上．

【解析】（1）由点A和点B的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，由已知条件得到△ABO≌△APM，得到对应边相等，求出点P的坐标；（2）根据平移的性质，由顶点式得到抛物线C2的解析式，把P点的坐标代入，得到点P在抛物线C2上．