Question

【题目】已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB为直径作⊙O，与BE边相交于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AE于点D．
（1）求证：D是AE的中点；
（2）求证：AE2=ECEB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠BAE=90°，AB为直径，

∴AE为⊙O的切线，

又CD为⊙O的切线，

∴AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

又AB直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DAC+∠DEC=90°，

∴∠DCE=∠DEC，

∴DC=DE，

∴AD=DE，

即D是AE的中点

（2）解：∵∠BAE=90°，

∴∠BAC+∠CAE=90°，

又AB直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

∴∠CAE=∠ABC，

又∠E=∠E，

∴△ACE∽△BAE，

∴ = ，

∴AE2=ECEB．

【解析】（1）根据已知条件得到AE为⊙O的切线，根据切线的性质得到AD=CD，由等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，由圆周角定理得到∠ACB=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠DEC，即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．