题目内容
如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连结AD交BC于F,若AC=FC.

(1)求证:AC是⊙O的切线:
(2)若BF=8,DF=
,求⊙O的半径r.

(1)求证:AC是⊙O的切线:
(2)若BF=8,DF=

(1)证明见解析;(2)6.
试题分析:(1)连接OA、OD,求出∠D+∠OFD=90°,推出∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,求出∠OAD+∠CAF=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)OD=r,OF=8-r,在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程

试题解析: (1)证明:连结OA、OD,

∵D为下半圆BE的中点,
∴∠BOD=∠DOF=90°,
∴∠D+∠OFD=90°,
∵AC=FC,OA=OD,
∴∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,
∵∠CFA=∠OFD,
∴∠OAD+∠CAF=90°,∴OA⊥AC,
∵OA为半径,∴AC是⊙O的切线;(2)解:∵⊙O半径是r,∴OD=r,OF=8﹣r,
又∵在Rt△DOF中,OD2+OF2=DF2,
∴

解得,


当


当


∴⊙O的半径r为6.
考点: 切线的判定.

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