题目内容

【题目】用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”．

已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．

求证：∠B＋∠D＝180°．

证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE．

∵DE是⊙O的直径，

∴ ．

∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，

∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°．

∵∠B和∠AEC所对的弧是，

∴ ．

∴∠B＋∠ADC＝180°．

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

证法2：

【答案】详见解析

【解析】

(1)根据直径所对的圆周角为90°即可补全证明过程；

（2）根据圆周角与圆心角的关系及周角为360°即可求解.

证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE．

∵DE是⊙O的直径，

∴∠DAE＝∠DCE＝90°．

∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，

∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°．

∵∠B和∠AEC所对的弧是，

∴∠AEC＝∠B．．

∴∠B＋∠ADC＝180°．

证法2：连接OA、OC

∵∠B、∠1所对的弧是，

∠D、∠2所对的弧是，

∴∠B＝∠1，∠D＝∠2

∵∠1＋∠2＝360°，

∴∠B＋∠D＝ (∠1＋∠2)＝×360°＝180°．

练习册系列答案
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