题目内容
【题目】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
在
中，
，
，
，
且
，若是奇异三角形，求
．
如图，
是
的直径，
是上一点（不与点
、
重合），
是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点
，使
，
．
①求证：
是奇异三角形；
②当是直角三角形时，求
的度数．
【答案】(1)真命题;(2)
；(3)①见解析;②
或
．
【解析】
试题（1）设等边三角形的边长为a，代入检验即可；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得
a2+b2=c2①，因为Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b2②，然后可得b=
a，c=
a，代入可求；（3）①要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC2+CE2=2AE2即可；②由①可得ΔACE是奇异三角形，所以AC2+CE2=2AE2． 当ΔACE是直角三角形时，由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．然后分两种情况讨论.
试题解析：解：（1）真命题． （2分）
（2）在RtΔABC中，a2+b2=c2，
∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，
若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2， （3分）
∴2b2=a2+（a2+b2），∴b2=2a2，得b=a．
∵c2=b2+a2=3a2，∴c=a，
∴a：b：c=1：：． （5分）
（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，
①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；
在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．
∵D是半圆
的中点，∴
，
∴AD=BD， （6分），
∴AB2=AD2+BD2=2AD2， （7分）
又∵CB=CE．AE=AD/span>，∴AC2+CE2=2AE2．
∴ΔACE是奇异三角形． （8分）
②由①可得ΔACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2．
当ΔACE是直角三角形时，
由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．
（Ⅰ）当AC：AE：CE=1：：时，
AC：CE=1：，即AC：CB=1：．
∵∠ACB=900，．∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°． （10分）
（Ⅱ）当AC：AE：CE=：：1时，
AC：CE=：1，即AC：CB=：1．
∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°． （12分）
【题目】由于雾霾天气持续笼罩某地区，口罩市场出现热卖.某商店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2800元，其进价和售价如下表：
甲种口罩 | 乙种口罩 | |
进价（元/袋） | 20 | 25 |
售价（元/袋） | 26 | 35 |
（1）求该商店购进甲、乙两种口罩各多少袋？
（2）该商店第二次仍以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售.若两种口罩销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于3680元，则乙种口罩最低售价为每袋多少元？
