Question

如图，抛物线y=ax²+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP²=BD•BC；
（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）；（2）（，0）；（3）（1，0）

试题分析：（1）由抛物线y=ax²+bx﹣4过点A（4，0）、B（﹣2，0）根据待定系数法求解即可；
（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP²=BD•BC，在中，令x=0时，则y=﹣4，即可求得点C的坐标，由PD∥AC可得△BPD∽△BAC，再根据相似三角形的性质求解即可；
（3）由△BPD∽△BAC，根据相似三角形的性质及二次函数的性质求解即可.
（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为；
（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP²=BD•BC，
在中，令x=0时，则y=﹣4
∴点C的坐标为（0，﹣4）
∵PD∥AC
∴△BPD∽△BAC
∴
∵，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2
∴，即 
∵BP²=BD•BC，
∴，解得x₁=，x₂=﹣2（不合题意，舍去）
∴点P的坐标是（，0）
∴当点P运动到（，0）时，BP²=BD•BC；
（3）∵△BPD∽△BAC，
∴
∴，
又∵，
∴
∵＜0，∴当x=1时，S_△BPC有最大值为3
∴点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大。
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.