题目内容
如图,点P是直线:上的点,过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点.
(1)若直线的解析式为,求A、B两点的坐标;
(2)①若点P的坐标为(-2,),当PA=AB时,请直接写出点A的坐标;
②试证明:对于直线上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立.
(3)设直线交轴于点C,若△AOB的外心在边AB上,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.
(1)若直线的解析式为,求A、B两点的坐标;
(2)①若点P的坐标为(-2,),当PA=AB时,请直接写出点A的坐标;
②试证明:对于直线上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立.
(3)设直线交轴于点C,若△AOB的外心在边AB上,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.
(1)A(,),B(1,1);(2)①A1(-1,1),A2(-3,9);②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线,垂足分别为G、H.设P(,),A(,),由PA=PB可证得△PAG≌△BAH,即得AG=AH,PG=BH,则B(,),将点B坐标代入抛物线,得,根据△的值始终大于0即可作出判断;(3)(,).
试题分析:(1)由题意联立方程组即可求得A、B两点的坐标;
(2)①根据函数图象上的点的坐标的特征结合PA=AB即可求得A点的坐标;
②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线,垂足分别为G、H.设P(,),A(,),由PA=PB可证得△PAG≌△BAH,即得AG=AH,PG=BH,则B(,),将点B坐标代入抛物线,得,根据△的值始终大于0即可作出判断;
(3)设直线:交y轴于D,设A(,),B(,).过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H.由△AOB的外心在AB上可得∠AOB=90°,由△AGO∽△OHB,得,则,联立得,依题意得、是方程的两根,即可求得b的值,设P(,),过点P作PQ⊥轴于Q,在Rt△PDQ中,根据勾股定理列方程求解即可.
(1)依题意,得解得,
∴A(,),B(1,1);
(2)①A1(-1,1),A2(-3,9);
②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线,垂足分别为G、H.
设P(,),A(,),
∵PA=PB,
∴△PAG≌△BAH,
∴AG=AH,PG=BH,
∴B(,),
将点B坐标代入抛物线,得,
∵△=
∴无论为何值时,关于的方程总有两个不等的实数解,即对于任意给定的点P,抛物线上总能找到两个满足条件的点A;
(3)设直线:交y轴于D,设A(,),B(,).
过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H.
∵△AOB的外心在AB上,
∴∠AOB=90°,
由△AGO∽△OHB,得,
∴.
联立得,
依题意得、是方程的两根,
∴,
∴,即D(0,1).
∵∠BPC=∠OCP,
∴DP=DC=3.
设P(,),过点P作PQ⊥轴于Q,
在Rt△PDQ中,,
∴.
解得(舍去),,
∴P(,).
∵PN平分∠MNQ,
∴PT=NT,
∴.
点评:此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
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