Question

已知抛物线y=a（x﹣m）²+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．

（1）如图1，求抛物线y=（x﹣2）²+1的伴随直线的表达式．
（2）如图2，若抛物线y=a（x﹣m）²+n（m＞0）的伴随直线是y=x﹣3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的表达式．
（3）如图3，若抛物线y=a（x﹣m）²+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．用含b的代数式表示m、n的值.

Answer 1

（1）抛物线y=（x﹣2）²+1的伴随直线的表达式为 
（2）抛物线的表达式为
（3）， .                           

试题分析：（1）由题意可知：A(0，5)，B(2，1)，                     
设伴随直线AB的表达式为，
∴
解得
∴抛物线y=（x﹣2）²+1的伴随直线的表达式为.      
（2）令，得，∴A(0，-3)，
由题意可知：顶点B(m，n)在伴随直线y=x﹣3上，
∴n=m-3，
∴B(m，m-3)，                                         

∵点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，
∴C(0，3) ，D(-m，-m+3)，
过点B作轴于点E.
∵ m＞0，
∴ ，
∵伴随四边形ABCD的面积为12，
∴，
∴，
∴，                                            
∴B(2，-1)，
∴ ，
把A(0，-3)代入中，
得：，
∴抛物线的表达式为.                 

（3）∴伴随直线AB；y=﹣2x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F (，0) ，A(0，b)，
∴C(0，-b)
∵伴随四边形ABCD是矩形，
∴顶点B(m，n)在y轴右侧的直线y=﹣2x+b上，
∠ABC＝90º，
∴B(m，-2m+b)，
过点B作轴于点E.
∴E(0，-2m+b)，
∴tan=tan，或证△ABE∽△BCE     
∴，
∴，                                       
∴.                           
点评：本题考查一次函数，二次函数，矩形，解答本题的关键是用待定系数法求一次函数，二次函数的解析式子，熟悉矩形的性质，本题难度较大