题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（a，0）点 B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）点 P 在直线AB的右侧，且∠APB＝45°
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；
②若△ABP 为直角三角形，求点P的坐标；
（2）如图2，在（2）的条件下，点P在第四象限，∠BAP＝90°，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，连接MN，求证：MP平分△BMN的一个外角．
【答案】（1）﹣2，4；（2）①（4，0）；②P（4，2）或（2，﹣2）；（3）详见解析.
【解析】
（1）利用非负数的和等于0，即可建立方程组求出a，b；
（2）①利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
②分两种情况，利用等腰三角形的性质，及全等三角形的性质求出PC，BC，即可得出结论；
（3）先判断出∠PMG=∠AHP，再SSS判断出△PMN≌△PHN，得出∠AHP=∠PMN，即可得出结论．
（1）∵a2+4a+4+|2a+b|＝0，
∴（a+2）2+|2a+b|＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
故答案为：﹣2，4；
（2）①如图 1，由（1）知，b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
点 P 在直线 AB 的右侧，且在 x 轴上，
∵∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0），
故答案为：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，
∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，
如图 3，
Ⅰ、当∠ABP＝90°时，∵∠APB＝∠BAP＝45°，
∴AB＝PB ，
过点 P 作 PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90 °，
∴∠ABO＝∠BPC，
在△AOB和△BCP中，
∴△AOB≌△BCP（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝2，
∴P（4，2），
Ⅱ、当∠BAP＝90°时， 过点 P'作 P'D⊥OA 于 D，
同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，
∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣OA＝2，
∴P'（2，﹣2）；
即：满足条件的点 P（4，2）或（2，﹣2）；
（3）如图 2，由（2）知点 P（2，﹣2），
∵A（﹣2，0），
∴直线 AP 的解析式为 y＝﹣
x﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴BM＝5，
同理：直线 BP 的解析式为 y＝﹣3x+4，
∴N（
，0），
∴MN＝
，
过点 P 作 PH∥AB 交 x 轴于 H，
∵∠BAP＝90°，
∴∠BAO+∠PAH＝90°，
∴∠BAO+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠PAH，
在△ABM和△PAH中，
，
∴△ABM≌△PAH（ASA），
∴∠AMB＝∠PHA，AH＝BM＝5，
∴∠PMG＝∠PHA，OH＝AH﹣OA＝3，
∴H（3，0），
∴NH＝3﹣＝＝MN，
∵P（2，﹣2），M（0，﹣1），H（3，0），
∴PM＝
，PH＝，
∴PM＝PH，
∴△PNM≌△PNH（SSS），
∴∠AHP＝∠PMN，
∴∠PMG＝∠PMN，
即：MP 是△BMN 的一个外角的平分线．
