题目内容

【题目】如图,在RtABC中,∠C=90°,BE平分∠ABCAC于点E,作EDEBAB于点D,OBED的外接圆.

(1)求证:AC是⊙O的切线;

(2)已知⊙O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)BC=,AD=

【解析】

(1)连接OE,由OB=OE知∠OBE=OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=CBE,据此得∠OEB=CBE,从而得出OEBC,进一步即可得证;

(2)证BDE∽△BEC,据此可求得BC的长度,再证AOE∽△ABC,据此可得AD的长.

1)如图,连接OE,

OB=OE,

∴∠OBE=OEB,

BE平分∠ABC,

∴∠OBE=CBE,

∴∠OEB=CBE,

OEBC,

又∵∠C=90°,

∴∠AEO=90°,即OEAC,

AC为⊙O的切线;

(2)EDBE,

∴∠BED=C=90°,

又∵∠DBE=EBC,

∴△BDE∽△BEC,

,即

BC=

∵∠AEO=C=90°,A=A,

∴△AOE∽△ABC,

,即

解得:AD=

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