题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知⊙O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)BC=,AD=.
【解析】
(1)连接OE,由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE,据此得∠OEB=∠CBE,从而得出OE∥BC,进一步即可得证;
(2)证△BDE∽△BEC得,据此可求得BC的长度,再证△AOE∽△ABC得,据此可得AD的长.
(1)如图,连接OE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠CBE,
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE∥BC,
又∵∠C=90°,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,
∴AC为⊙O的切线;
(2)∵ED⊥BE,
∴∠BED=∠C=90°,
又∵∠DBE=∠EBC,
∴△BDE∽△BEC,
∴,即,
∴BC=;
∵∠AEO=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△AOE∽△ABC,
∴,即,
解得:AD=.
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