题目内容
【题目】如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 
： 
=1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE 
CP的值．
【答案】
（1）解：PD与⊙O相切．理由如下：
连接OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠OPD=120°﹣30°=90°，
∵OP为半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ 
： 
=1：2，
∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，
∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如图，
设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB﹣BE=3x，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x﹣x=2x，
∴AE：EB：BD的值为3：1：2
（3）解：如图，连接OC，
∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，
∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠ACE=∠PCA，
∴△ACE∽△PCA，
∴ 
，即AC2=PC 
CE，
∵A02+OC2=AC2=8，
∴PC CE=AC2=8．
【解析】（1）连接OP，利用圆周角定理可求出∠AOP=120°，进而可得∠PAO=∠APO=30°，再利用等腰三角形的性质可求出∠D=30°，进而可得∠OPD=90°，从而得证；
（2）连BC，由AB为直径可得∠ACB=90°，再由已知可得∠BAC=30°，∠ABC=60°，从而得出AE垂直平分PC，设BE=x，在Rt△BCE和Rt△ABC中，利用直角三角形的性质可得答案；
（3）连接OC，由圆周角定理可得∠CAB=∠APC，OC⊥AB，从而证出△ACE∽△PCA，由相似三角形的性质可得AC2=PC CE，又由勾股定理可求出AC2，进而求出答案.
