Question

【题目】如图一，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；在四边形AOPE面积最大时，在线段OE上取点M，在y轴上取点N，当PM+MN+AN取最小值时，求出此时N点的坐标．

（3）如图二，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）N（0，）；（3）存在，理由：见解析.

【解析】

（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，即可求解；

（2）过点A作倾斜角为45°的直线AH，过点P作PH⊥AH于点H，交OE于点M、交y轴于点N，则点N为所求，即可求解；

（3）分P在对称轴的左边，且在x轴下方、P在对称轴的左边，且在x轴上方、P在对称轴的右边，且在x轴下方、P在对称轴的右边，且在x轴上方四种情况，分别求解即可．

解：（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把A（0，3）代入得：3＝3a，a＝1，

∴抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3；

（2）如图1，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，

设P（m，m2﹣4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），则OE的解析式为：y＝x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），

∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

∴S四边形AOPE＝S△AOE+S△POE＝×3×3+PGAE＝+×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣m2+，

∵﹣＜0，

∴当m＝时，S有最大值，此时点P（，﹣）；

过点A作倾斜角为45°的直线AH，过点P作PH⊥AH于点H，交OE于点M、交y轴于点N，则点N为所求，

则NH＝AN，

此时PM+MN+AN＝PM+MN+HN＝PH为最小值，

设直线PH的表达式为：y＝﹣x+b，将点P的坐标代入上式并解得：

直线PH的表达式为：y＝﹣x+，

故点N（0，）；

（3）存在，理由：

①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，

∴△OMP≌△PNF（AAS），

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

解得：m＝（舍去）或

∴P的坐标为（，）；

②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3，

同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m＝或（舍去），

故点P（，）；

③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，

如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN＝FM，

则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，

解得：m＝或（舍去），

P的坐标为（，）；

④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，

解得：m＝或（舍去），

点P的坐标为：（，）；

综上，点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．