Question

【题目】如图①，中，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．

[观察猜想]图①，线段与的数量关系是 ，_____；

[探究证明]把绕点逆时针方向旋转到图②的位置，连结，上述猜想的结论是否成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】[观察猜想]，；[探究证明]成立，理由见解析．

【解析】

（1）根据中位线的性质得出MP=CE，PN=BD，再根据AB=AC，且AD=AE，得出BD=CE，即可证明PN=PM；先求出∠B=∠ACB==66°，∠B+∠BDC+∠DCB=180°，再根据MP∥CE，PN∥DB，得出∠DPN=180°-∠BDC，∠MPD=∠ECD，即可求出∠MPN；

（2）连接CE，先证明△BAD≌△CAE，然后根据中位线的性质得到MP=CE=BD，PN=BD，即可证明MP=PN；根据∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，且∠DBC=∠ABC-∠ABD=66°-∠ABD，∠BCD=∠ACB-∠ACD=66°-∠ACD，推出∠BDC=48°+∠DCE，再根据MP∥CE，PN∥DB，可得∠MPD=∠ECD，∠NPD=180°-∠PDB，即可求出∠MPN．

解：（1）∵M，P分别为DE，CD中点，

∴MP∥CE且MP=CE，

∵P，N分别为CD，BC中点，

∴PN∥BD且PN=BD，

∵AB=AC，且AD=AE，

又∵BD=AB-AD，CE=AC-AE，

∴BD=CE，

∴PN=PM，

∵∠A=48°，且AB=AC，

∴∠B=∠ACB==66°，∠B+∠BDC+∠DCB=180°，

∴∠BDC-∠DCE=48°，

∵MP∥CE，PN∥DB，

∴∠DPN=180°-∠BDC，∠MPD=∠ECD，

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=180°-（∠BDC-∠ECD）=132°；

（2）成立，

如图，连接CE，

∵∠BAC=∠DAE=48°，且∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠BAD+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴CE=BD，∠ECA=∠ABD，

∵M，P，N分别为DE，DC，BC中点，

∴MP=CE=BD，PN=BD，

∴MP=PN，

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，且∠DBC=∠ABC-∠ABD=66°-∠ABD，∠BCD=∠ACB-∠ACD=66°-∠ACD，

∴∠BDC=180°-66°-66°+∠ABD+∠ACD

=48°+∠ABD+∠ACD

=48°+∠ACE+∠ACD

∴∠BDC=48°+∠DCE，

∵MP∥CE，PN∥DB，

∴∠MPD=∠ECD，∠NPD=180°-∠PDB，

∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=180°-∠PDB+∠ECD=180°-（48°+∠DCE）+∠ECD=180°-48°=132°，

∴猜想成立．