题目内容

【题目】如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)试说明OE=OF;
(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出说明理由;如果不成立,请说明理由.

【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形

∴∠BOE=∠AOF=90°,

OB=OA,

又∵AM⊥BE,

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,

∴∠MEA=∠AFO,

∴Rt△BOE≌Rt△AOF,

∴OE=OF;


(2)解:OE=OF成立;

证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA,

又∵AM⊥BE,

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE,

又∵∠MBF=∠OBE,

∴∠F=∠E,

∴Rt△BOE≌Rt△AOF,

∴OE=OF.


【解析】根据正方形对角线互相垂直平分的性质可以证明OA=OB,(1)求证∠1=∠2,进而证明Rt△BOE≌Rt△AOF,即可得OE=OF.(2)求证∠E=∠F,进而证明Rt△AOF≌Rt△BOE,根据全等三角形对应边相等的性质即可得OE=OF.
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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