Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现：当α＝0°时，的值为　 　；

（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；

（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）7或1．

【解析】

（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出的值；

（2）证△BCE∽△ACD，由相似三角形的性质可求出的值；

（3）分两种情况讨论，一种是点E在线段BA的延长线上，一种是点E在线段BA上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长．

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°．

∵DE∥AB，

∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴cos∠C．

∵DE∥AB，

∴．

故答案为：；

（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，

∴．

又∵∠BCE=∠ACD=α，

∴△BCE∽△ACD，

∴，

即；

（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时．

∵∠BAC=90°，

∴∠CAE=90°，

∴AE3，

∴BE=BA+AE=4+3=7；

②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，

AE3，

∴BE=BA﹣AE=4﹣3=1．

综上所述：BE的长为7或1．

故答案为：7或1．