Question

【题目】我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--------三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线 上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点 足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，

求证：

Answer 1

【答案】在上，过点， 为半圆的切线，切点为；EB，EO为∠MEN的三等分线．证明见解析．

【解析】

如图，连接OF．则∠OFE=90°，只要证明，，即可解决问题；

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点， 在上，过点，为半圆的切线，切点为．

求证： EB，EO为∠MEN的三等分线．

证明：如图，连接OF．则∠OFE=90°，

∵EB⊥AC，EB与半圆相切于点B，

∴∠ABE=∠OBE=90°，

∵BA=BO．EB=EB，

∴∠AEB=∠BEO，

∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，

∴，

∴∠OEB=∠OEF，

∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，

∴EB，EO为∠MEN的三等分线．

故答案为：在上，过点，为半圆的切线，切点为．

EB，EO为∠MEN的三等分线．