Question

1．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边AB上一点，Q是以BC为直径的圆上一点，则DP+PQ的最小值为（　　）

• A． 5
• B． $\sqrt{13}$+2
• C． $\frac{\sqrt{73}}{2}$+$\frac{1}{2}$
• D． 3$\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 作矩形ABCD关于AB的对称图形ABC′D′，作半圆O关于AB的对称图形半圆O′，连接DO′交AB于点P，连接PO交半圆O于点Q，此时DP+PQ取最小值，根据勾股定理求出DO′的长度，再减去⊙O的半径即可得出结论．

解答 解：作矩形ABCD关于AB的对称图形ABC′D′，作半圆O关于AB的对称图形半圆O′，连接DO′交AB于点P，连接PO交半圆O于点Q，此时DP+PQ取最小值，如图所示．
∵AB=3，BC=4，O′为BC′的中点，
∴DC=AB=3，CO′=BC+$\frac{1}{2}$BC=6，
∴DO′=$\sqrt{D{C}^{2}+CO{′}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
当DP+PQ取最小值时，DP+PQ=DO′-$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{5}$-2．
故选D．

点评 本题考查了轴对称图形中的最短路线问题以及勾股定理，根据对称性找出当DP+PQ取最小值时点P、Q的位置是解题的关键．