Question

10．如图，在平面直角坐标系中，经过点P（0，2）的直线y=kx+b与二次函数y=$\frac{1}{4}$x²+1的图象相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点A的坐标是（-1，$\frac{5}{4}$）
①求一次函数y=kx+b的表达式及点B的坐标；
②以点A为圆心，AP长为半径画圆，试判断⊙A与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）若k为不等于零的任意值
①以点A为圆心，AP长为半径画图，试判断⊙A与x轴的位置关系，并说明理由；
②以AB为直径画⊙C，试判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先确定出b的值，再将点A坐标代入即可得出直线解析式，联立抛物线解析式即可确定出B的坐标；
②先确定出点A，B坐标即可得出AP，进而判定AP与点A的坐标的关系即可；
（2）①先确定出点A，B坐标即可得出AP，进而判定AP与点A的坐标的关系即可；
②先确定出点A，B坐标即可得出$\frac{1}{2}$AB，进而判定AB与点A的坐标的关系即可．

解答 解（1）①∵点P（0，2）在直线y=kx+b上，
∴b=2，
∵点A（-1，$\frac{5}{4}$）在直线y=kx+2上，
∴-k+2=$\frac{5}{4}$，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=$\frac{3}{4}$x+2，
∵直线y=$\frac{3}{4}$x+2①和抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1②的图象相交于A、B两点，
∴联立①②解得，B（4，5），
②⊙A与x轴相切，理由：
∵A（-1，$\frac{5}{4}$），P（0，2），
∴AP=$\frac{5}{4}$=y_A，
∴⊙A与x轴相切，
（2）①⊙A与x轴相切，
理由：∵由（1）知，直线AB的解析式为y=kx+2③，
∵直线AB与二次函数y=$\frac{1}{4}$x²+1④的图象相交于A、B两点，
∴联立③④得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{y=2{k}^{2}+2k\sqrt{{k}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{y=2{k}^{2}-2k\sqrt{{k}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$
∵点A在点B的左侧，
∴A（2k-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），B（2k+2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²+2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），
∵P（0，2），
∴AP²=（2k-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$）²+（2k²-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2-2）²=4（k-$\sqrt{{k}^{2}+1}$）²（k²+1），
∴AP=2（$\sqrt{{k}^{2}+1}$-k）×$\sqrt{{k}^{2}+1}$=2k²+2-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$=y_A，
∴⊙A与x轴相切，
②⊙C与x轴相切，
理由：由①知，A（2k-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），B（2k+2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²+2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），
∴AB的中点坐标C的纵坐标为2k²+2，$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4（k²+1）=2k²+2=y_C，
∴⊙C与x轴相切．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直线与圆的位置关系，平面坐标系中，两点间的距离公式，解方程组，解本题的关键是解方程组，是一道中等难点的中考常考题．