Question

16．已知抛物线y=ax²+bx+2经过A（1，$\frac{5}{4}$），B（2，0）和C三个点．
（1）求该抛物线的解析式，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；
（2）在对称轴l上是否存在一点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得，继而根据函数解析式可得其函数图象；
（2）根据轴对称的性质可得其最小值是点P为AC与对称轴的交点，即点P位于AC上，不构成三角形，故不存在这样的点．

解答 解：（1）把A（1，$\frac{5}{4}$），B（2，0）代入y=ax²+bx+2得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=\frac{5}{4}}\\{4a+2b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所有抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2，
因为y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{4}$（x+1）²+$\frac{9}{4}$，所以抛物线的顶点坐标为（-1，$\frac{9}{4}$），
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x₁=-4，x₂=2，则C（-4，0），
如图，


（2）这样的点P不存在，
∵△PAC的周长=PA+PC+AC，
AC的长度一定，若要使△PAC的周长最小，则需使PA+PC最小，
而点A、C位于对称轴l的两侧，其最小值是点P为AC与对称轴的交点，即点P位于AC上，不构成三角形，
∴不存在这样的点P．

点评 本题考查了轴对称解决最短路线问题和用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．