Question

【题目】如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC ．

（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．

（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．

（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使△BPN的面积等于△BCM面积的？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣3，1），直线AC：y=x+2；（2）证明见解析；（3）N（﹣，0）．

【解析】试题分析：（1）作CQ⊥x轴，垂足为Q，根据条件证明△ABO≌△BCQ，从而求出CQ=OB=1，可得C（﹣3，1），用待定系数法可求直线AC的解析式y=x+2；（2）作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，证明△BCH≌△BDF，△BOE≌△DGE，可得BE=DE；（3）先求出直线BC的解析式，从而确定点P的坐标，假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，然后可求出BN的长，比较BM,BN的大小，判断点N是否在线段BM上即可．

试题解析：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，

∴∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，

∴∠OAB=∠QBC，

又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，

∴△ABO≌△BCQ，

∵BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，

∴C（﹣3，1），

由A（0，2），C（﹣3，1）

可知，直线AC：y=x+2；

（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，

∵AC=AD，AB⊥CB，

∵BC=BD，

∴△BCH≌△BDF，

∴BF=BH=2，

∴OF=OB=1，

∵DG=OB，

∴△BOE≌△DGE，

∴BE=DE；

（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，

∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），

∴BM=5，则S△BCM=．

假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，

则BN·=×，

∴BN=，ON=，

∴BN＜BM，

∴点N在线段BM上，

∴N（﹣，0）．