题目内容
【题目】(2014四川资阳)如图①,已知直线l1∥l2,线段AB在直线l1上,BC垂直于l1交l2于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线分别交l2,l1于点D,E(点A,E位于点B的两侧,满足BP=BE,连接AP,CE.
(1)求证:△ABP≌△CBE.
(2)连接AD、BD,BD与AP相交于点F,如图②.
①当时,求证:AP⊥BD;
②当(n>1)时,设△PAD的面积为S1,△PCE的面积为S2,求
的值.
【答案】见解析
【解析】
(1)证明:BC⊥直线l1,
∴∠ABP=∠CBE.
在△ABP和△CBE中,
(2)①证明:如图,延长AP交CE于点H.
∵△ABP≌△CBE,
∴∠PAB=∠ECB,
∴∠PAB+∠AEH=∠ECB+∠AEH=90°,
∴∠AHE=90°,
∴AP⊥CE.
∵,即P为BC的中点,直线l1∥直线l2,
∴△CPD∽△BPE,
∴,
∴DP=EP.
∴四边形BDCE是平行四边形,∴CE∥BD.
∵AP⊥CE,∴AP⊥BD.
②解:∵,∴BC=nBP,
∴CP=(n-1)BP.
∵CD∥BE,
∴△CPD∽△BPE,
∴.
令S△BPE=S,则S2=(n-1)S,
S△PAB=S△BCE=nS,S△PAE=(n+1)S.
∵,
∴S1=(n+1)(n-1)S,
∴.

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