题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线 y=kx+bx 轴、y 轴相交干A(60)B(03)两点,动点C在线段OA,将线段CB 绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB,过点D DEx 轴于点E

(1)求直线y=kx+b 的表达式及点D 的坐标;

(2)若点Py 轴上,Q在直线AB,是否存在以CDPQ 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的Q 点坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1D41;2Q的坐标为

【解析】

1)用待定系数法先求出直线解析式,由旋转角为90°,可证得∠BCO=CDE,从而得到△BOC≌△CED,所以OC=DEBO=CE=3,设OC=DE=m, 则点Dm+3m),代入解析式求出m,进而得到点D的坐标.(2)分三种情况画出图形,结合平行四边形的性质求出点的坐标即可.

解:

1)将A60)、B03)代入直线y=kx+b得,

∵∠BOC=BCD=CED=90°

∴∠OCB+DCE=90°,∠DCE+CDE=90°

∴∠BCO=CDE

BC=CD

∴△BOC≌△CED

OC=DEBO=CE=3

OC=DE=m,

Dm+3m

Dm+3m)代入得,

m=1 ,

D41),

2)如图,①作CPABy轴于P,PQCDABQ,则四边形PCDQ是平行四边形,设,将C(1,0)代入得,b=,

∴P(0),

∵点C向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到D,

∴点P向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到Q,

Q

P′Q′CDy轴于P′,ABQ′,则四边形Q′CDP′是平行四边形,

PQCDP′Q′CD

∴PQ P′Q′

∴P′Q′PQ是平行四边形,

∴Q′,Q关于点B对称,

Q′

CD为对角线时,四边形DPCQ′′为平行四边形,

同①,由平移可得Q′′

Q的坐标为

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