题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线 y=kx+b与x 轴、y 轴相交干A(6,0),B(0,3)两点,动点C在线段OA上,将线段CB 绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D 作DE⊥x 轴于点E
(1)求直线y=kx+b 的表达式及点D 的坐标;
(2)若点P在y 轴上,点Q在直线AB上,是否存在以C、D、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的Q 点坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)D(4,1);(2)Q的坐标为或
【解析】
(1)用待定系数法先求出直线解析式,由旋转角为90°,可证得∠BCO=∠CDE,从而得到△BOC≌△CED,所以OC=DE,BO=CE=3,设OC=DE=m, 则点D(m+3,m),代入解析式求出m,进而得到点D的坐标.(2)分三种情况画出图形,结合平行四边形的性质求出点的坐标即可.
解:
(1)将A(6,0)、B(0,3)代入直线y=kx+b得,
∴
,
∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°,
∴∠OCB+∠DCE=90°,∠DCE+∠CDE=90°,
∴∠BCO=∠CDE,
∵BC=CD,
∴△BOC≌△CED,
∴OC=DE,BO=CE=3,
设OC=DE=m,
∴D(m+3,m)
把D(m+3,m)代入得,
,
∴m=1 ,
∴D(4,1),
(2)如图,①作CP∥AB交y轴于P,作PQ∥CD交AB于Q,则四边形PCDQ是平行四边形,设,将C(1,0)代入得,b=
,
∴,
∴P(0,),
∵点C向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到D,
∴点P向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到Q,
∴Q
② 作P′Q′∥CD交y轴于P′,交AB于Q′,则四边形Q′CDP′是平行四边形,
∵PQCD,P′Q′
CD,
∴PQ P′Q′,
∴P′Q′PQ是平行四边形,
∴Q′,Q关于点B对称,
∴Q′,
③ 当CD为对角线时,四边形DPCQ′′为平行四边形,
同①,由平移可得Q′′,
∴Q的坐标为或
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