Question

【题目】数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
②连接A′B，求线段A′B的长度；
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①中

，

∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，

∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，

∴∠CBB′=∠CB′B=65°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°

（2）

解：①结论：直线BB′、是⊙A′的切线．理由：如图②中

，

∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，

∴∠CBB′=∠CB′B=60°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．

∴AB′⊥BB′，

∴直线BB′、是⊙A′的切线．

②∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，

∴A′B= =

（3）

解：如图③中

，

当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．

理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，

∴∠CBB′=∠CB′B= ，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．

∴AB′⊥BB′，

∴直线BB′、是⊙A′的切线．

在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，

∴BB′=2nsinβ，

在RT△A′BB′中，A′B=

【解析】（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在RT△ABB′中，利用勾股定理计算即可．（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．本题考查圆的综合题、旋转不变性、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，充分利用旋转不变性，属于中考压轴题．