题目内容
【题目】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图1所示，若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标；
（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①
为定值；②
为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出这个定值．
【答案】（1）（0，2）；（2）BD=2AE，理由见解析；（3）
=1，理由见解析
【解析】
（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求；
（2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，可证△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE；
（3）作AE⊥OC，则AF=OE，可证△BCO≌△ACE，可得AF+OB=OC，即可解题．
解：∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），
∴AD=OC，
在Rt△ADC和Rt△COB中
，
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL），
∴OB=CD=2，
∴点B的坐标是（0，2）；
（2）延长BC，AE交于点F，
∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=22.5°，∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD=2AE；
（3）作AE⊥OC，则AF=OE，
∵∠CBO+∠OBC=90°，∠OBC+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
在△BCO和△ACE中，
，
∴△BCO≌△ACE（AAS），
∴CE=OB，
∴OB+AF=OC．
∴=1．
