题目内容

【提出问题】
如图①,在梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD交于点E,∠BEC=n°,若AD=a,BC=b,则梯形ABCD的面积最大是多少?
【探究过程】
小明提出:可以从特殊情况开始探究,如图②,在梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD的面积最大是多少?
如图③,过点D做DE//AC交BC的延长线于点E,那么梯形ABCD的面积就等于△DBE的面积,求梯形ABCD的面积最大值就是求△DBE的面积最大值.如果设AC=x,BD=y,那么S△DBE=xy.
以下是几位同学的对话:
A同学:因为y=,所以S△DBE=x,求这个函数的最大值即可.
B同学:我们知道x2+y2=100,借助完全平方公式可求S△DBE=xy的最大值
C同学:△DBE是直角三角形,底BE=10,只要高最大,S△DBE就最大,我们先将所有满足BE=10的直角△DBE都找出来,然后在其中寻找高最大的△DBE即可.

(1)请选择A同学或者B同学的方法,完成解题过程.
(2)请帮C同学在图③中画出所有满足条件的点D,并标出使△DBE面积最大的点D1.(保留作图痕迹,可适当说明画图过程)
【解决问题】
根据对特殊情况的探究经验,请在图①中画出面积最大的梯形ABCD的顶点D1,并直接写出梯形ABCD面积的最大值.
(1)25;(2)如下图;(3)如下图,S梯形ABCD最大值为:

试题分析:(1)选择A同学,由S△DBE即可作出判断;选择B同学,根据三角形的面积公式即可作出判断;
(2)(3)先根据题意作出恰当的图形,即可求得结果.
(1)选择A同学.
S△DBE
当x2=50,即x=5,S△DBE取最大值25.
选择B同学.
方法一:S△DBE=xy=×2xy≤(x2+y2)=25
当x=y=5时,S△DBE取最大值25.
方法二:S△DBE=xy=[(x2+y2)-(x-y)2]= [100-(x-y)2],
当(x-y)2=0,即x=y=5时,S△DBE取最大值25;
(2)如图所示,点D1即为所求的点

(3)如图所示:
S梯形ABCD最大值为:
点评:此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
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