Question

方程x²+2ax+a-4=0恒有相异两实根，若方程x²+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是______．

Answer 1

∵方程x²+2ax+a-4=0恒有相异两实根，
∴△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，
又∵方程x²+2ax+k=0有相异两实根，
∴△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；
对于二次函数y₁=x²+2ax+a-4，y₂=x²+2ax+k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同得交点，要让y₂与x轴两个交点都在y₁与x轴两个交点之间，则要满足y₂与y轴的交点在y₁与y轴的交点上方，如图，

则有k＞a-4，
所以k的取值范围是 a-4＜k＜a²．
故答案为a-4＜k＜a²．