题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=a(x﹣h)2﹣4(a>0)与x轴分别交于原点O、A两点,点A在x轴的正半轴上,顶点为D,直线y= x交抛物线于B点,过B作BE∥x轴交抛物线另一点E,交对称轴于F.
(1)当DF=4a时,求BE的长.
(2)如图2,连AD,连接AD绕点A旋转交直线OB于点G,点D的对应点为G,当OG=2时,求a的值;
(3)在(2)的条件下,当0<a<1时,以OB为直径作圆交x轴下方抛物线于点P,求点P坐标.
【答案】
(1)解:如图1中,
由题意D(h,﹣4),
∵DF=4a,
∴点F坐标(h,4a﹣4),
当y=4a﹣4时,4a﹣4=a(x﹣h)2﹣4,
解得x=h±2,
∴B(2+h,4a﹣4),E(h﹣2,4a﹣4),
∴BE=(2+h)﹣(h﹣2)=4.
(2)解:如图2中,由题意OG=2,可得G(﹣ ,﹣1)或G′(
,1).
当AD=AG,A(2h,0),D(h,﹣4),
∴(2h+ )2+1=h2+16,
∴h= 或﹣2
(舍弃),
∴A( ,0),代入y=a(x﹣h)2﹣4,解得a=3,
当AD=AG′时,(2h﹣ )2+1=h2+16,
解得h=2 或﹣
(舍弃),
∴A(4 ,0),代入y=a(x﹣h)2﹣4,解得a=
,
综上所述,A的值为3或 .
(3)解:由题意抛物线的解析式为y= x2﹣
x,
由 ,解得
,或
,
∴B(5 ,5),
∴OB=10,
∴线段OB的中点O′( ,
)
设P(m, m2﹣
m),
由题意PO′=5,
∴(m﹣ )2+(
m2﹣
m﹣
)2=52,
∴m2﹣5 m+
+(
m2﹣
m)2﹣5(
m2﹣
m)+
=25,
∴m2﹣5 m+(
m2﹣
m)(
m2﹣
m﹣5)=0,
∴m2﹣5 m+
m(m﹣4
)(m﹣5
)(m+
)=0
∴ m(m﹣5
)(m2﹣3
m﹣3)=0
∴m=0或5 或
或
,
∵点P在x轴下方,
∴P( ,
).
【解析】(1)由顶点式求出D(h,-4),再表示出B纵坐标,y=4a﹣4代入解析式,求出B、E两点的横坐标,求出其差,就是BE;(2)AD绕点A旋转交直线OB于点G,位置有两个,分类讨论,利用两点间距离公式列出方程,求出a值;(3)求出OB的中点,就是圆心,利用“圆上任意点到圆心距离等于半径”及两点间距离公式,列出方程,求出P的横坐标m.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试,三人的测试成绩如下表所示:
测试项目 | 测试成绩/分 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
笔试 | 75 | 80 | 90 |
面试 | 93 | 70 | 68 |
根据录用程序,学校组织200名学生采用投票推荐的方式,对三人进行民主测评,三人得票率(没有弃权,每位同学只能推荐1人)如扇形统计图所示,每得一票记1分.
(1)扇形统计图中= , 分别计算三人民主评议的得分;
(2)根据实际需要,学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3的比例确定个人成绩,得分最高者将被选中,通过计算说明三人中谁被选中?