题目内容
如图,抛物线y=
x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴相交于A,B两点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点Q是线段OB上的动点,过点Q作QE∥BC,交AC于点E,连接CQ,设OQ=m,当△CQE的面积最大时,求m的值,并写出点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线,与该抛物线交于点P,与直线BC交于点F,D的坐标为(-2,0),则是否存在这样的直线l,使OD=DF?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)点Q是线段OB上的动点,过点Q作QE∥BC,交AC于点E,连接CQ,设OQ=m,当△CQE的面积最大时,求m的值,并写出点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线,与该抛物线交于点P,与直线BC交于点F,D的坐标为(-2,0),则是否存在这样的直线l,使OD=DF?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)把x=2,y=0;x=0,y=-4代入y=
x2+bx+c,
得
解得
故所求抛物线的解析式为y=
x2+x-4.
(2)如图1,作EG⊥AQ于点G,由(1)可知,点B的坐标为(-4,0).
∴CO=4,AB=6,AQ=m+2.
∵QE∥BC,
∴△AEQ∽△ACB.
∴
=
,即
=
.
∴EG=
.
∴S△CQE=S△ACQ-S△AEQ=
AQ•CO-
AQ•EG=
(m+2)(4-
),
=-
m2+
m+
=-
(m-1)2+3.
当m=1时,当△CQE的面积最大.
此时,点Q的坐标为(-1,0).
(3)若存在,如图2,
∵点B的坐标为(-4,0),D的坐标为(-2,0),DO=DF,
∴DB=DF.∴∠ABC=∠BFD.
∵OC=OB,∠ABC=∠BCO=45°.
∴∠ABC=∠BFD=45°.
∴FD⊥AB.
则F(-2,-2).
∴
x2+x-4=-2.
解得x1=-1-
,x2=-1+
.
所以点P的坐标为(-1-
,-2)或(-1+
,-2).
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2 |
得
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解得
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故所求抛物线的解析式为y=
1 |
2 |
(2)如图1,作EG⊥AQ于点G,由(1)可知,点B的坐标为(-4,0).
∴CO=4,AB=6,AQ=m+2.
∵QE∥BC,
∴△AEQ∽△ACB.
∴
EG |
CO |
AQ |
AB |
EG |
4 |
m+2 |
6 |
∴EG=
2m+4 |
3 |
∴S△CQE=S△ACQ-S△AEQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2m+4 |
3 |
=-
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3 |
2 |
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当m=1时,当△CQE的面积最大.
此时,点Q的坐标为(-1,0).
(3)若存在,如图2,
∵点B的坐标为(-4,0),D的坐标为(-2,0),DO=DF,
∴DB=DF.∴∠ABC=∠BFD.
∵OC=OB,∠ABC=∠BCO=45°.
∴∠ABC=∠BFD=45°.
∴FD⊥AB.
则F(-2,-2).
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解得x1=-1-
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所以点P的坐标为(-1-
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