Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，n）（n＞0），且3OA=2OC（如图）．
（1）当α=60°时，求直线FC的解析式；
（2）若矩形OCBA的对称中心M，请探究：当旋转α角满足什么条件时，经过点M，且以点B为顶点的抛物线经过点D？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）先求出OC的长，写出点C的坐标，根据旋转的性质可得CF=OC，过点F作FG⊥OC于G，解直角三角形求出FG、CG的长，然后求出OG的长度，从而得到点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据矩形的性质求出点M的坐标，再求出点B的坐标，然后利用顶点式形式求出抛物线的解析式，过点D作DN⊥x轴于N，易得∠CDN=α，然后解直角三角形求出CN、DN，再求出ON，然后写出点D的坐标，然后把点D的坐标代入抛物线解析式得到关于α的三角函数的方程，求解即可得到α的值．

解答：解：（1）∵A（0，n），3OA=2OC，
∴OC=

3

2

n，
∴点C的坐标为（

3

2

n，0），
根据旋转的性质，CF=OC=

3

2

n，
过点F作FG⊥OC于G，
则FG=CF•sin60°=

3

2

n•

3

2

=

3 3

4

n，
CG=CF•cos60°=

3

2

n•

1

2

=

3

4

n，
∴OG=OC-CG=

3

2

n-

3

4

n=

3

4

n，
∴点F的坐标为（

3

4

n，

3 3

4

n），
设直线FC的解析式为y=kx+b，
则

3 2 nk+b=0 3 4 nk+b= 3 3 4 n

，
解得

k=- 3 b= 3 3 2 n

，
∴直线FC的解析式为y=-

3

x+

3 3

2

n；

（2）∵A（0，n），C（

3

2

n，0），
∴矩形OCBA的对称中心M的坐标为（

3

4

n，

1

2

n），
点B的坐标为（

3

2

n，n），
设抛物线解析式为y=a（x-

3

2

n）²+n，
把点M的坐标代入得，a（

3

4

n-

3

2

n）²+n=

1

2

n，
解得a=-

8

9n

，
所以，抛物线解析式为y=-

8

9n

（x-

3

2

n）²+n，
过点D作DN⊥x轴于N，易得∠CDN=∠OCF=α，
∴CN=nsinα，DN=ncosα，
∴ON=OC+CN=

3

2

n+nsinα，
∴点D的坐标为（

3

2

n+nsinα，ncosα），
代入抛物线解析式得，-

8

9n

（

3

2

n+nsinα-

3

2

n）²+n=ncosα，
整理得，8sin²α+9cosα-9=0，
∵sin²α+cos²α=1，
∴sin²α=1-cos²α，
∴8cos²α-9cosα+1=0，
解得cosα=

1

8

或cosα=1，
当cosα=1时，α=0，
∴cosα=1舍去，
因此，当旋转α角满足cosα=

1

8

时，经过点M，且以点B为顶点的抛物线经过点D．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的运算，（2）表示出点D的坐标并代入抛物线解析式进行计算难度较大，计算时要用到sin²α+cos²α=1的性质．