Question

【题目】（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_____________________；

（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）EF=BE+DF仍然成立；（3）210海里．

【解析】

（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．

解：（1）EF=BE+DF

（2）EF=BE+DF仍然成立

证明如下：延长FD到G，使DG=BE，

连接AG，如图2

∵∠B+∠ADC=180°

∠ADC+∠ADG=180°

∴∠B=∠ADG

在△ABE和△ADG中

∴△ABE≌△ADG（SAS）

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG

∵∠EAF=∠BAD

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BAD

∴∠EAF=∠GAF

在△AEF和△GAF中

∴△AEF≌△AGF（SAS）

∴EF=FG

∵FG=DG+DF

∴EF=BE+DF

(3)如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C

由题意得：∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°

∴∠EOF=∠AOB

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°

∴符合(2)的条件

∴结论EF=AE+BF成立

∴ EF=1.5×（60+80）=210海里

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．