Question

【题目】（1）观察推理：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，，垂足分别为.求证：△AEC≌△CDB.

（2）类比探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB，，连接CB，，求△ACB，的面积.

(3)拓展提升:如图③，在△EBC中，∠E=∠ECB=60°，EC=BC=3，点O在BC上，且OC=2，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点 F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）EP=3+1=4，t=4s．

【解析】

试题（1）本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB；

（2）此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法和矩形的判定，根据题意得出AC=B′D是解题关键．利用旋转的性质以及矩形的判定得出AC′=B′D=AC=4，进而利用三角形面积公式求出即可；

（3）由已知条件，再通过作图可知，EP=EC=CP=3+1=4， 可求得点P运动的时间t=4s．

试题解析：（1）证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）解：根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，过点B′D⊥AC于点D，

∵∠C′AC=∠AC′B′=∠ADB′，

∴四边形C′ADB′是矩形，

∴AC′=B′D=AC=4，

∴S△AB′C的面积=×AC×B′D=×4×4=8．

故答案为：8．

（3）EP=3+1=4，t=4s．