Question

【题目】二次函数y= (x-h)2+k的顶点在x轴上，其对称轴与直线y=x交于点A（1，1），点P是抛物线上一点，以P为圆心，PA长为半径画圆，⊙P交x轴于B、C两点．

⑴h= ,k= ；

⑵①当点P在顶点时，BC= ；

②BC的值是否随P点横坐标的变化而变化？如果变化，请说明理由，如果不变化，请求出这个值．

Answer 1

【答案】（1）1，0；（2）①2；②BC的值不随P点横坐标的变化而变化，．

【解析】

（1）分别求出二次函数的对称轴、顶点的纵坐标即可得；

（2）①根据题（1）可得二次函数的解析式，从而可得顶点坐标，再根据当点P在顶点时，BC恰好为圆P的直径即可得；

②先依据题意画出图形，如图（见解析），先根据垂径定理得出，再根据点的坐标、两点之间的距离公式分别求出、的值，然后利用勾股定理求出，从而可得，即可得出答案．

（1）由题意得：此二次函数的对称轴为，顶点的纵坐标为0

则，

故答案为：1，0；

（2）①由（1）可知，此二次函数的解析式为，其顶点坐标为

当点P在顶点时，半径

此时，BC恰好为圆P的直径，即

故答案为：2；

②BC的值不随P点横坐标的变化而变化，求解过程如下：

如图，过点P作轴于点D，连接PA、PB，则

由垂径定理得：

设点P的坐标为，则

由两点之间的公式得：

在中，

即

解得或（不符题意，舍去）

故BC的值不随P点横坐标的变化而变化，．