题目内容

如图,抛物线与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,-4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点F为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将已知点的坐标代入抛物线的交点式即可确定二次函数的解析式;
(2)首先利用m表示出线段AM的长,然后利用△AMN∽△ABC得到比例式,最后得到有关m的二次函数求最值即可;
(3)此题可分作两种情况考虑:
①AF∥DE;根据抛物线的解析式可求得C点坐标,可得C、D关于抛物线对称轴对称,即C、D的纵坐标相同,所以CD∥x轴,那么C点就是符合条件的G点,易求得CD的长,根据平行四边形的性质知BE=CD,由此可得到BE的长,将B点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标;
②AD∥EF;根据平行四边形的性质知,此时G、D的纵坐标互为相反数,由此可求得G点的纵坐标,将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标;那么将G点的横坐标减去3(B、D横坐标差的绝对值),即可得到两个符合条件的E点坐标;
综上所述,符合条件的E点坐标应该有4个.
解答:解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6),
将点C的坐标带入,求得a=
1
3

∴抛物线的解析式为y=
1
3
x2-
4
3
x-4.

(2)设点M的坐标为(m,0),过点N作NH⊥x轴于点H(如图(1)).
∵点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(6,0),
∴AB=8,AM=m+2.
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC.
NH
CO
=
AM
AB

NH
4
=
m+2
8

∴NH=
m+2
2

∴S△CMN=S△ACM-S△AMN
=
1
2
×AM×CO-
1
2
AM×NH
=
1
2
(m+2)(4-
m+2
2

=-
1
4
m2+m+3
=-
1
4
(m-2)2+4.
∴当m=2时,S△CMN有最大值4.
此时,点M的坐标为(2,0).

(3)∵点D(4,k)在抛物线y=
1
3
x2-
4
3
x-4上,
∴当x=4时,k=-4,
∴D点的坐标是(4,-4).
如图(2),当AF为平行四边形的边时,AF∥DE,
∵D(4,-4),
∴E(0,-4),DE=4.
∴F1(-6,0),F2(2,0).
如图(3)当AF为平行四边形的对角线时,
设F(n,0),则平行四边形的对称中心为(
n-2
2
,0).
∴E’的坐标为(n-6,4).
把E’( n-6,4)代入y=
1
3
x2-
4
3
x-4,
得n2-16n+36=0.
解得n=8±2
7

F3(8-2
7
,0),F4(8+2
7
,0).
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及平行四边形的判定和性质;要特别注意的是(3)题中,由于没有明确BD是平行四边形的边还是对角线,所以一定要分类讨论,以免漏解.
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